8. पवन ऊर्जा

हवा फिर से सूरज बन गई है, भेस बदलकर।

सूर्य का प्रकाश पृथ्वी को असमान रूप से गर्म करता है—भूमि समुद्र की तुलना में अधिक तेज़ी से, भूमध्य रेखा ध्रुवों की तुलना में अधिक गर्म होती है। गर्म हवा ऊपर उठती है, ठंडी हवा उसके नीचे से गुजरती है, और यही गतिमान हवा पवन कहलाती है। पृथ्वी तक पहुँचने वाले सूर्य के प्रकाश का लगभग 1% से 2% भाग वायुमंडलीय गति में परिवर्तित हो जाता है, जो कि ऊर्जा की एक विशाल मात्रा है। एक पवन टरबाइन बस इसके एक छोटे से भाग को ही ग्रहण करती है।

यह कैसे होता है, इसकी भौतिकी भाग बी में सबसे विरोधाभासी सामग्री है - और सबसे संतोषजनक भी।

ब्लेड पंख होते हैं, पाल नहीं

सहज धारणा गलत है। लोग कल्पना करते हैं कि हवा ब्लेडों को घुमाती है, जैसे पाल में हवा या पेल्टन बाल्टी में पानी। इस तरह की मशीनें मौजूद हैं - पारंपरिक पवनचक्कियां और एनीमोमीटर के घूमने वाले कप घर्षण द्वारा काम करते हैं - लेकिन यह तरीका कारगर नहीं है। एक घर्षण मशीन कभी भी उसे चलाने वाली हवा से तेज़ नहीं चल सकती और अपेक्षाकृत कम ऊर्जा ग्रहण करती है।

एक आधुनिक टरबाइन ब्लेड एक एयरोफॉयल है: एक विमान के पंख का अनुप्रस्थ काट ।

उस आकृति से टकराने वाली हवा विक्षेपित हो जाती है, और घुमावदार ऊपरी सतह पर प्रवाह नीचे के प्रवाह की तुलना में तेज़ और कम दबाव पर होता है। दबाव का अंतर लिफ्ट उत्पन्न करता है — एक बल जो आने वाले वायु प्रवाह के लगभग लंबवत कार्य करता है।

वह लंबवत दिशा ही सारा रहस्य है, और यही हमारे मुख्य प्रश्न का उत्तर देती है। क्योंकि लिफ्ट बल हवा की दिशा में नहीं बल्कि बगल में कार्य करता है, यह ब्लेड को उसके वृत्ताकार पथ के साथ धकेलता है, पीछे की ओर नहीं। बल उत्पन्न करने वाली हवा के अलावा कोई भी चीज ब्लेड को तेज गति से चलने से नहीं रोकती। ब्लेड के सिरे आमतौर पर हवा की गति से पांच से सात गुना अधिक गति से चलते हैं, यही कारण है कि एक विशाल टरबाइन जो दूर से सुस्त दिखाई देता है, उसके सिरे मोटरवे की गति से घूमते हैं।

ब्लेड के लिए इसका एक अच्छा परिणाम होता है। चूंकि यह पहले से ही तेजी से अगल-बगल घूम रहा होता है, इसलिए इस पर पड़ने वाली वायुधारा वास्तविक हवा और इसकी अपनी गति का संयोजन होती है — जो ब्लेड की लंबाई के साथ बदलते हुए एक कम कोण से आती है।

यही कारण है कि ब्लेड मुड़े हुए होते हैं: प्रत्येक भाग को उस हवा के लिए सही कोण पर सेट किया जाता है जिससे वह व्यक्तिगत रूप से मिलता है। एक स्थिर टरबाइन को ध्यान से देखें और आप जड़ से सिरे तक का घुमाव देख सकते हैं।

घन का अत्याचार

हवा से संबंधित हर चीज को दो मापन नियम नियंत्रित करते हैं, और दोनों ही असामान्य रूप से कठोर हैं।

शक्ति हवा की गति के घन के साथ बढ़ती है। रैखिक रूप से नहीं। वर्ग के साथ नहीं। घन के साथ।

हवा की गति को दोगुना करने पर आपको आठ गुना शक्ति मिलती है। 25% तेज़ वेबसाइट से लगभग दोगुना लाभ मिलता है। यह एक तथ्य ही इसका कारण बताता है:

• विकासकर्ता विशिष्ट पर्वत श्रृंखलाओं और तटीय पट्टियों के लिए आपस में प्रतिस्पर्धा करते हैं।

• टरबाइनें ऊंचे टावरों पर बनाई जाती हैं - जमीन के पास की धीमी गति वाली, खुरदरी हवा से ऊपर उठने पर हवा की गति बढ़ जाती है।

• कंक्रीट डालने से पहले वर्षों तक पवन संसाधन सर्वेक्षण किए जाते हैं: अनुमानित औसत पवन गति में एक छोटी सी त्रुटि अनुमानित राजस्व में एक बड़ी त्रुटि बन जाती है।

शक्ति ब्लेड की लंबाई के वर्ग के साथ बढ़ती है। रोटर एक वृत्त को घुमाता है, और वृत्त का क्षेत्रफल πr² होता है। ब्लेड की लंबाई दोगुनी करने पर घूर्णित क्षेत्रफलचार गुना हो जाता है , और इस प्रकार समान हवा से प्राप्त शक्ति भी चार गुना हो जाती है।

इन सभी बातों को एक साथ देखें तो आपको टरबाइन के आकार में लगातार हो रही वृद्धि समझ में आ जाएगी। लंबे ब्लेड अधिक क्षेत्र को कवर करते हैं और तेज़ हवा में अधिक ऊंचाई तक पहुंचते हैं, जबकि वे लागतें जो बढ़ती नहीं हैं — नींव, ग्रिड कनेक्शन, पहुंच मार्ग, रखरखाव दल के दौरे — कहीं अधिक उत्पादन पर वितरित हो जाती हैं। 1980 के दशक की शुरुआती व्यावसायिक मशीनों में रोटर कई मीटर चौड़े होते थे और उनकी क्षमता सैकड़ों किलोवाट में थी। आधुनिक अपतटीय मशीनों का रोटर व्यास 200 मीटर से अधिक है और उनकी क्षमता 10-15 मेगावाट प्रति मशीन है।

टर्बाइनों की भी दोनों सिरों पर सीमाएं होती हैं। कट-इन के नीचे गति — आमतौर पर लगभग 3 मीटर/सेकंड — मुड़ने के लिए पर्याप्त बल नहीं होता है। निर्धारित गति से ऊपर, ब्लेड जानबूझकर “पिच” करते हैं ताकि अतिरिक्त हवा को बाहर निकाला जा सके और जनरेटर की निर्धारित गति पर आउटपुट बनाए रखा जा सके। और लगभग 25 मीटर/सेकंड से अधिक के तूफान में, टरबाइन बंद हो जाता है और अपने ब्लेड को पूरी तरह से फैला देता है, क्योंकि जिस घन नियम ने इसे पैसा दिलाया था, वही अब इसे टुकड़े कर देगा।

तटवर्ती और अपतटीय

तटीय पवन ऊर्जा का निर्माण और रखरखाव सस्ता है, और भारत की लगभग सभी क्षमता वर्तमान में यहीं स्थित है।

अपतटीय पवन ऊर्जा समुद्र में स्थित होती है, जहाँ हवा तेज़, स्थिर और कम अशांत होती है — कोई पहाड़ या इमारतें इसे बाधित नहीं करतीं — और जहाँ क्षमता कारक कहीं बेहतर होते हैं। यह कहीं अधिक महंगा भी है: समुद्री नींव, पनडुब्बी केबल और रखरखाव जिसके लिए एक पोत और अच्छे मौसम की आवश्यकता होती है। यूरोप और चीन ने बड़े पैमाने पर अपतटीय पवन ऊर्जा संयंत्र स्थापित किए हैं; भारत ने गुजरात और तमिलनाडु के तटवर्ती क्षेत्रों का सर्वेक्षण किया है और बार-बार लक्ष्य घोषित किए हैं, लेकिन अभी तक व्यावसायिक पैमाने पर निर्माण नहीं किया है।

भारत की हवा

भारत की स्थापित क्षमता का लगभग 50 GW हिस्सा पवन ऊर्जा से प्राप्त हुआ और वित्त वर्ष 2024-25 में कुल उत्पादन का लगभग 83 TWh हिस्सा — लगभग 4.6% प्राप्त हुआ, जो 2025 के अंत तक बढ़कर लगभग 54 GW हो जाएगा।

भूगोल ही सब कुछ तय करता है। 2025 के मध्य तक, गुजरात लगभग 13.8 GW के साथ सबसे आगे था — इसकी लंबी तटरेखा और खुले कच्छ के मैदान मानसून के प्रवाह को पकड़ लेते हैं — और तमिलनाडु लगभग 11.8 GW के साथ इसके ठीक पीछे था, एक वास्तविक प्राकृतिक दुर्घटना के कारण। पश्चिमी घाट पश्चिमी तट पर एक दीवार की तरह फैले हुए हैं; जहाँ यह दीवार टूटी हुई है, वहाँ मानसूनी हवा उस दरार से होकर गुजरती है और पीछे के मैदानों पर तेज गति से निकलती है, ठीक वैसे ही जैसे पानी एक संकरे चैनल से होकर गुजरता है।

इनमें से दो दर्रे पवन ऊर्जा के लिए महत्वपूर्ण हैं। केरल के पलक्कड़ और तमिलनाडु के कोयंबटूर के बीच स्थित पालघाट (पलक्कड़) दर्रा कोयंबटूर-तिरुपुर क्षेत्र के पवन ऊर्जा संयंत्रों को पवन ऊर्जा प्रदान करता है।

इस पर्वत श्रृंखला के दक्षिणी छोर पर, नागरकोइल के पास, अंतिम दर्रा आता है — अरलवैमोझी दर्रा, जिसे अरंबोली भी लिखा जाता है। यही दर्रा भारत के दक्षिणी छोर पर स्थित मुप्पंडल के पीछे का फनल है, जो देश के सबसे बड़े पवन ऊर्जा संयंत्रों में से एक बन गया है: 1980 के दशक से अब तक लगभग 1.5 GW हजारों टर्बाइनों के साथ।

मौसमी पैटर्न एक सच्चा उपहार है। भारत में पवन उत्पादन दक्षिण-पश्चिम मानसून, मोटे तौर पर मई से सितंबर के दौरान चरम पर होता है — ठीक उन्हीं महीनों में जब घने बादल सौर उत्पादन को दबा देते हैं। पूरे वर्ष के दौरान, पवन और सौर ऊर्जा एक दूसरे की कमी को आंशिक रूप से पूरा करती हैं, यही कारण है कि दोनों तकनीकों के बीच एक ही ग्रिड कनेक्शन साझा करने वाले हाइब्रिड पार्क तेजी से डिफ़ॉल्ट बन रहे हैं। यह डक कर्व की समस्या का समाधान नहीं करता — कोई भी मौसमी चीज़ दैनिक समस्या का समाधान नहीं करती — लेकिन इसका मतलब यह है कि पवन और सौर ऊर्जा से चलने वाला ग्रिड, अकेले किसी एक ग्रिड की तुलना में कम अस्थिर होता है।

एक टरबाइन वास्तव में कितनी ऊर्जा उत्पन्न करती है?

टरबाइन की रेटिंग — 2 MW, 3 MW, 15 MW — वह क्षमता है जो यह अच्छी, स्थिर हवा में उत्पन्न करती है। यह औसत क्षमता नहीं है, क्योंकि हवा हमेशा अच्छी और स्थिर नहीं होती। सही संख्या मॉड्यूल 7 से प्राप्त क्षमता कारक है: एक वर्ष में वास्तविक उत्पादन, जिसे मशीन द्वारा पूरे समय पूरी क्षमता से चलने पर उत्पन्न होने वाले उत्पादन से विभाजित किया जाता है।

आप ऊपर दिए गए आंकड़ों से भारत का आंकड़ा निकाल सकते हैं, और इसे स्वयं करना सार्थक होगा। एक 50 GW बेड़ा जो वर्ष के प्रत्येक घंटे के लिए पूर्ण रेटिंग पर चल रहा है, वह 50 GW × 8,760 घंटे ≈ 438 TWh उत्पन्न करेगा। इसने वास्तव में वित्त वर्ष 2024-25 में लगभग 83 TWh का राजस्व उत्पन्न किया। वह है 83 ÷ 438 ≈ 19%.

कहीं भी उस संख्या का उल्लेख करने से पहले दो बातें ध्यान में रखें। पहली बात, उनमें से कुछ 50 GW को वर्ष के मध्य में चालू किया गया था, इसलिए उन्होंने वर्ष के केवल एक भाग के लिए ही ऊर्जा उत्पन्न की, जिससे औसत कम हो जाता है। दूसरी बात, भारत के बेड़े में अभी भी हजारों छोटी, कम ऊँचाई वाली मशीनें हैं, जिन्हें 1980 और 1990 के दशक में स्थापित किया गया था। ये मशीनें आधुनिक 100 मीटर ऊँचे टावर की तुलना में धीमी हवा में स्थित होती हैं और बहुत कम ऊर्जा ग्रहण करती हैं। मॉड्यूल 7 की तालिका पवन ऊर्जा के लिए लगभग 20% दर्शाती है, और यह वही समग्र बेड़े का औसत है - आपने अभी जो योग किया है, वह इसी से लिया गया है। अन्यत्र आपको जो अधिक गतिशील संख्याएँ मिलेंगी, लगभग 25-30%, वे अच्छी तरह से चुने गए स्थानों पर नई मशीनों का वर्णन करती हैं; भारत के अपने अनुमानों के अनुसार देश अभी भी कितनी पवन ऊर्जा का निर्माण कर सकता है, यह लगभग 30% है। इनमें से प्रत्येक आंकड़ा एक अलग चीज़ के लिए सही है, और जब कोई क्षमता कारक का उल्लेख करता है, तो उपयोगी प्रश्न हमेशा यह होता है कि कौन सा बेड़ा, कौन सा वर्ष।

एक मशीन के पैमाने को समझने के लिए: एक आधुनिक परिसर में 25% क्षमता पर लगा एक 3 MW टरबाइन वर्ष में 3,000 kW × 8,760 घंटे × 0.25 ≈ 6.6 मिलियन यूनिट ऊर्जा उत्पन्न करता है (एक “यूनिट” का अर्थ एक किलोवाट-घंटा है, जैसा कि मॉड्यूल 1 में है)। पूरे वर्ष में वितरित करने पर, यह औसतन लगभग 750 किलोवाट ऊर्जा दिन-रात निरंतर प्रवाहित होती है — जो कि नामपट्टिका पर अंकित संख्या का एक चौथाई है। दोनों ही आंकड़े झूठ नहीं हैं। वे अलग-अलग प्रश्नों के उत्तर देते हैं।

पवन ऊर्जा संयंत्र वास्तव में कैसा दिखता है

पवन ऊर्जा संयंत्र का अधिकांश भाग खाली जगह होता है, और यह उन लोगों को आश्चर्यचकित करता है जिन्होंने केवल लंबी लेंस से ली गई तस्वीरें देखी हैं, जिनमें टर्बाइन एक साथ सटे हुए दिखाई देते हैं।

मशीनों को कई रोटर व्यास की दूरी पर स्थापित किया जाता है - 120 मीटर व्यास वाले रोटर के लिए, इसका मतलब है पड़ोसी मशीनों के बीच सैकड़ों मीटर की दूरी, और प्रचलित हवा की दिशा में दूरी, उसके पार दूरी की तुलना में अधिक होती है। इसका कारण सीधे तौर पर टरबाइन के कार्य से स्पष्ट होता है। यह हवा से ऊर्जा ग्रहण करता है, इसलिए इससे निकलने वाली हवा धीमी और आने वाली हवा की तुलना में कहीं अधिक उथल-पुथल वाली होती है। यह धीमी, अशांत लकीर टरबाइन का वेक कहलाती है, और यह एक किलोमीटर या अधिक दूरी तक फैल सकती है, इससे पहले कि आसपास की हवा इसे फिर से समतल कर दे। किसी अन्य मशीन के वेक में खड़ी मशीन कम ऊर्जा उत्पन्न करती है, और ऐसा करते समय अधिक हिलती है, जिससे वह जल्दी खराब हो जाती है। पवन फार्म स्थापित करना आपके द्वारा पट्टे पर ली गई भूमि पर अधिक टरबाइन लगाने और प्रत्येक को स्वच्छ हवा मिलने देने के बीच एक समझौता है।

इतनी अधिक जगह होने का एक सुखद परिणाम यह है कि बीच की ज़मीन उपयोग में बनी रहती है। केवल टावर बेस, एक्सेस ट्रैक और सबस्टेशन ही वास्तव में निर्मित होते हैं, इसलिए एक पवन फार्म का वास्तविक फुटप्रिंट उसके द्वारा फैले क्षेत्र का एक छोटा सा अंश होता है। तमिलनाडु और गुजरात में, टर्बाइन सामान्य खेतों और चरागाहों में खड़े होते हैं और उनके नीचे खेती चलती रहती है — जो कि कोयला खदान या बड़े जलाशय के मामले में बिलकुल भी सच नहीं है।

आपत्तियां, ईमानदारी से

पवन ऊर्जा मुफ्त में नहीं मिलती, और ऐसा दिखावा करना ही परियोजनाओं को रोकने का कारण बनता है।

शोर। प्रत्येक ब्लेड टावर से गुजरते समय एक लयबद्ध सरसराहट करता है, और शीर्ष पर स्थित मशीनरी गुंजन करती है। दूर से यह तेज़ नहीं सुनाई देती, लेकिन यह अपरिचित है, यह कभी रुकती नहीं है, और शांत रात में यह गूंजती रहती है। यही कारण है कि नियोजन नियम आम तौर पर टरबाइन और निकटतम घर के बीच न्यूनतम दूरी निर्धारित करते हैं।

पक्षी और चमगादड़। टर्बाइनें उन्हें मार डालती हैं। सच्चाई यह है कि जोखिम काफी हद तक इस बात पर निर्भर करता है कि फार्म कहाँ बनाया गया है: प्रवासन मार्ग पर टर्बाइनों की एक कतार, या चीलों और गिद्धों द्वारा उपयोग किए जाने वाले क्षेत्र के पास, एक गंभीर समस्या है, और वही मशीनें कुछ जिलों दूर लगभग कोई समस्या नहीं हैं। यह तकनीक नहीं, बल्कि स्थान निर्धारण और सर्वेक्षण कार्य तय करते हैं। यह निर्णय इसी बात पर निर्भर करता है।

भूदृश्य और भूमि अधिकार। एक आधुनिक टरबाइन कई किलोमीटर दूर से दिखाई देता है, और कुछ लोग अपने गाँव के ऊपर पहाड़ी पर इसे नहीं चाहते। भारत में अधिक महत्वपूर्ण प्रश्न आमतौर पर भूमि से संबंधित होता है: भूखंड का मालिक कौन है, चरागाह भूमि का उपयोग कौन कर रहा था, और गाँव में वास्तव में पट्टे का किराया किसे मिलता है।

बिजली पहुंचाना। सबसे तेज़ हवा वाले ज़िले शायद ही कभी सबसे ज़्यादा मांग वाले होते हैं, इसलिए बिजली को लंबी दूरी तक ले जाना पड़ता है। जब किसी पवन ऊर्जा क्षेत्र से निकलने वाली लाइनें पूरी तरह भर जाती हैं, तो टर्बाइनों को काम बंद करने के लिए कहा जाता है, और वह ऊर्जा बस बर्बाद हो जाती है - कोई भी उस पवन ऊर्जा को बाद के लिए संग्रहित नहीं कर सकता। भाग डी ठीक इसी समस्या के बारे में है।

🔥बेट्ज़ सीमा: 59.3% ही अधिकतम सीमा क्यों है?उन्नत · वैकल्पिक

यह अभियांत्रिकी के सबसे मनमोहक परिणामों में से एक है, और आप बिना किसी समीकरण के तर्क के आधार पर इस तक पहुँच सकते हैं।

लालची सवाल पूछें: ऐसा रोटर क्यों न डिज़ाइन किया जाए जो हवा की सारी गतिज ऊर्जा को निकाल ले?

परिणाम भुगतें। गतिज ऊर्जा ½mv² होती है। इसे पूरी तरह से लेने के लिए, आपको हवा की गति को शून्य तक कम करना होगा। लेकिन शून्य गति पर आपके रोटर से निकलने वाली हवा स्थिर हवा होती है जो ठीक उसके पीछे स्थित होती है — एक दीवार। और इसके पीछे आने वाली हवा के पास जाने के लिए कोई जगह नहीं होती, इसलिए यह आपके रोटर से गुजरने के बजाय उसके चारों ओर मुड़ जाती है। थोड़ी मात्रा में हवा से सब कुछ निकाल लें, और अंत में आप लगभग न के बराबर हवा को ही संसाधित कर रहे होंगे। आउटपुट: लगभग शून्य।

अब विपरीत चरम स्थिति। हवा की गति को लगभग न के बराबर धीमा करें, और भारी मात्रा में हवा प्रवाहित होती है। खुशी से — लेकिन आप प्रत्येक किलोग्राम से लगभग कुछ भी नहीं लेते। आउटपुट: लगभग शून्य।

“इसे बहुत धीमा करने से प्रवाह अवरुद्ध हो जाता है” और “इसे बहुत धीमा करने से कुछ भी प्राप्त नहीं होता” के बीच कहीं एक अधिकतम सीमा होती है। 1919 में जर्मन भौतिक विज्ञानी अल्बर्ट बेट्ज़ ने इसे खोजा था। इष्टतम सीमा यह है कि हवा की गति को उसकी मूल गति के एक तिहाई तक धीमा किया जाए, और हवा की गतिज ऊर्जा का वह अंश जिसे आप तब प्राप्त कर सकते हैं:

16/27 ≈ 0.593 — बेट्ज़ सीमा

किसी भी डिज़ाइन का रोटर—तीन ब्लेड, बीस ब्लेड, ऊर्ध्वाधर अक्ष, आवरणयुक्त, कुछ भी— इसे मात नहीं दे सकता। आधुनिक टर्बाइन अपनी सर्वोत्तम परिचालन सीमा में बेट्ज़ सीमा का लगभग 75-80% प्राप्त कर लेते हैं, जिसका अर्थ है कि वे पवन ऊर्जा का लगभग 45-50% प्राप्त कर लेते हैं। यह वास्तव में एक ठोस भौतिक सीमा के बहुत करीब है; पवन टर्बाइन हमारे द्वारा निर्मित सबसे अधिक ऊष्मागतिक रूप से परिपक्व मशीनों में से हैं।

तर्क की संरचना पर ध्यान दें। मॉड्यूल 3 में कार्नोट और मॉड्यूल 7 में शॉकली-क्वेसर की तरह, यह सीमा प्रक्रिया की प्रकृति से ही प्राप्त होती है, न कि किसी इंजीनियरिंग खामी से। इन तीनों ने हमें एक ही सबक अलग-अलग दिशाओं से सिखाया है: ऊर्जा संचयन के हर तरीके की भौतिकी में एक सीमा निर्धारित होती है, और अच्छी इंजीनियरिंग उस सीमा तक पहुँचने की कला है।

🔥🔥घन नियम और बेट्ज़ को उचित रूप से व्युत्पन्न करनागहन · वैकल्पिक

v³ कहाँ से आता है। एक रोटर पर विचार करें जिसका परिक्रमण क्षेत्रफल A है और जो v गति और ρ घनत्व वाली हवा का सामना कर रहा है। एक सेकंड में, उससे गुजरने वाली हवा v लंबाई और A अनुप्रस्थ काट वाले सिलेंडर को घेर लेती है, इसलिए द्रव्यमान प्रवाह दर है:

ṁ = ρ · A · v

प्रत्येक किलोग्राम की गतिज ऊर्जा ½v² है। अतः डिस्क से गुजरने वाली शक्ति है:

पी = ½ · ṁ · वी² = ½ · ρ · ए · वी³

घन का आकार इसलिए दिखाई देता है क्योंकि गति के साथ दो चीजें बदलती हैं: प्रत्येक किलोग्राम कितनी ऊर्जा वहन करता है (v²), और प्रति सेकंड कितने किलोग्राम पहुंचते हैं (v)। इन्हें गुणा करने पर v³ प्राप्त होता है।

एक परिकलित संख्या। एक आधुनिक तटवर्ती मशीन लें: रोटर का व्यास 120 मीटर है, इसलिए A = π × 60² ≈ 11,310 m²। ρ = 1.225 kg/m³ और v = 10 m/s के साथ:

P = 0.5 × 1.225 × 11,310 × 1,000 ≈ 6.9 MW

बेट्ज़ सीमा (0.593) और उसके वास्तविक 0.8 से गुणा करने पर, आपको लगभग 3.3 MW प्राप्त होता है। यह ऐसी मशीन के लिए एक तर्कसंगत रेटिंग है। गणितीय गणना वास्तव में कारगर है।

बेट्ज़ द्वारा व्युत्पन्न। मान लीजिए कि सुदूर-अपस्ट्रीम पवन वेग v₁ है और सुदूर-डाउनस्ट्रीम वेग v₂ है। अक्षीय प्रेरण कारक a को इस प्रकार परिभाषित करें कि रोटर पर वेग v₁(1 − a) हो। संवेग संरक्षण से यह सिद्ध किया जा सकता है कि रोटर वेग इन दोनों का औसत है: v_rotor = (v₁ + v₂)/2, अतः v₂ = v₁(1 − 2a)।

प्राप्त की गई शक्ति गतिज ऊर्जा की हानि की दर है:

P = ½ ṁ (v₁² − v₂²), जहाँ ṁ = ρ A v₁(1 − a)

उपलब्ध शक्ति ½ρAv₁³ से प्रतिस्थापित और भाग देने पर शक्ति गुणांक प्राप्त होता है:

C_p = 4a(1 − a)²

अधिकतम करें: dC_p/da = 4[(1 − a)² − 2a(1 − a)] = 4(1 − a)(1 − 3a) = 0, जिससे a = 1/3 प्राप्त होता है। (दूसरा मूल, a = 1, अवरुद्ध स्थिति है)। पुनः प्रतिस्थापित करने पर:

C_p,max = 4 × (1/3) × (2/3)² = 16/27 ≈ 0.593

और ध्यान दें कि a = 1/3 का भौतिक अर्थ क्या है: हवा रोटर पर अपनी गति के दो-तिहाई तक धीमी हो जाती है और काफी दूर अनुप्रवाह में एक-तिहाई तक धीमी हो जाती है। 🔥 ब्लॉक में निहित सहज ज्ञान गणित का सरलीकरण नहीं है — यह स्वयं गणित है।

आगे क्या आता है

इसके साथ ही भाग बी पूरा होता है: शाफ्ट को घुमाने के छह तरीके, एक ऐसा तरीका जिससे शाफ्ट बिल्कुल नहीं घूमता, और तीन अलग-अलग प्रमाण जो यह साबित करते हैं कि भौतिकी इन सभी तरीकों को सही ठहराती है। भाग सी शेष विषयों को समेटता है —जैव द्रव्यमान, भूतापीय ऊर्जा, ज्वारीय ऊर्जा और हाइड्रोजन, जो ऊर्जा के क्षेत्र में सबसे गलत समझा जाने वाला विषय है। फिर भाग डी उस प्रश्न को पूछता है जिसकी ओर यह पूरा दौरा अग्रसर रहा है: आप इन सैकड़ों मशीनों को एक महाद्वीप के आकार की प्रणाली में कैसे जोड़ते हैं जिसे हर दिन हर सेकंड खुद को संतुलित रखना होता है?